Скрытые модели Поттса — наблюдаемые SOS-модели на двухслойной структуре
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v2i3s.5Ключевые слова:
Cayley tree; Potts model; SOS model; hidden Markov structure; Gibbs measure; probabilistic inference.Аннотация
В данной работе мы вводим двухслойную модель «скрытый Поттс — наблюдаемый SOS» на деревьях Кэли произвольного порядка. Модель строится на основе скрытой марковской структуры, в которой наблюдаемая SOS-конфигурация порождается лежащим в основе латентным полем Поттса с помощью локального стохастического преобразования. Для предложенной модели мы выводим условия согласованности гиббсовских мер на деревьях Кэли произвольного порядка и исследуем трансляционно-инвариантные гиббсовские состояния. В частности, получены явные выражения для трансляционно-инвариантных гиббсовских мер на деревьях Кэли первого и второго порядков, а также установлены условия их существования. Кроме того, для этих гиббсовских мер решена задача восстановления и прогнозирования скрытых состояний по наблюдаемому слою. Полученные результаты обеспечивают строгую вероятностную основу для многосостоятельных скрытых спиновых систем и обобщают методы скрытых марковских моделей на взаимодействия типа Поттса — SOS на иерархических графах. Предложенный подход может найти применение при исследовании пространственных стохастических систем, графовых моделей и смежных задач статистического вывода, связанных с латентными структурами.
Библиографические ссылки
[1] Abdullaev, L. U., Rozikov, U. A.: Gibbs Measures in Machine Learning. World Scientific, Singapore (2026). DOI: 10.1142/14350
[2] Akin, H. and Ulusoy, U.: A new approach to studying the thermodynamic properties of the q-state Potts model on a Cayley tree. Chaos, Solitons and Fractals (2023). DOI: 10.1016/j.chaos.2023.113811
[3] Baxter, R. J.: Exactly Solved Models in Statistical Mechanics. Academic Press, London/New York (1982).
[4] Botirov, G. I., Rozikov, U. A.: On q-component models on the Cayley tree: the general case. J. Stat. Mech. (2006). DOI: 10.1088/17425468/2006/10/P10006
[5] Botirov, G. I., Rozikov, U. A.: Potts model with competing interactions on the Cayley tree: The contour method. Theor. Math. Phys. (2007). DOI: 10.1007/s11232-007-0125-x
[6] Ferreira, L. S., Jorge, L. N., DaSilva, C. J., Caparica, A. A.: An entropic approach to analyze phase transitions in the Potts model. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 674, 130694 (2025). DOI: 10.1016/j.physa.2025.130694
[7] Herrera, F., Rozikov, U.A., Velasco, M.V.: Ising models with hidden Markov structure: applications to probabilistic inference in machine learning. J. Stat. Mech. (2025). DOI: 10.1088/1742-5468/ade5f8
[8] Kurbanova, D. R., Magomedov, M. A., Dzhamaludinov, M. R., Ramazanov, M. K., Murtazaev, A. K.: Phase diagram of the antiferromagnetic 3-state Potts model on a bcc lattice with competing interactions. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 676, 130870 (2025). DOI: 10.1016/j.physa.2025.130870
[9] Minlos, R. A.: Introduction to mathematical statistical physics. University lecture series. 1 (2000).
[10] Mukhamedov, F., Akin, H.: Exact solution for the three-state asymmetric Potts model on a Cayley tree. Chaos, Solitons and Fractals (2026). DOI: 10.1016/j.chaos.2026.118118
[11] Ostilli, M.: Cayley Trees and Bethe Lattices: A concise analysis for mathematicians and physicists. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 391(12), 3417–3423 (2012). DOI: 10.1016/j.physa.2012.01.038
[12] Pirogov,S.A.,Sinai,Ya.G.:Phasediagramsofclassicallatticesystems. Theoretical and Mathematical Physics (1975).DOI:10.1007/BF01040127
[13] Preston, C. J.: Gibbs states on countable sets. Cambridge University Press, London (2011). DOI: 10.1017/CBO9780511897122
[14] Rahmatullaev, M. M., Rasulova, M. A.: Extremality of translation-invariant Gibbs measures for the Potts-SOS model on the Cayley tree. J. Stat. Mech. (2021). DOI: 10.1088/1742-5468/ac08ff
[15] Rahmatullaev, M. M., Rasulova, M. A.: Ground States and Gibbs Measures for the Potts-SOS Model with an External Field on the Cayley Tree. Lobachevskii Journal of Mathematics (2024). DOI: 10.1134/S1995080224010451
[16] Rahmatullaev, M. M., Rasulova, M. A., Potts models featuring hidden Markov structure. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=6819388 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.6819388
[17] Rasulova, M. A.: Ground states for the Potts model with an external field. Reports on Mathematical Physics (2024). DOI: 10.1016/S0034 4877(24)00082-X
[18] Rasulova, M. A.: On the Relationship between Configurations and Limiting Gibbs Measures for the Potts-SOS Model on the Cayley Tree. Journal of Mathematical Sciences (2026). DOI: 10.1007/s10958-026-08419-x
[19] Rozikov, U.A.: A Contour method on Cayley trees. J. Stat. Phys. (2008). DOI: 10.1007/s10955-007-9455-1
[20] Rozikov, U. A.: Gibbs measures on Cayley trees. World Scientific, Singapore (2013). DOI: 10.1142/8841
[21] Rozikov, U. A.: Gibbs Measures in Biology and Physics: The Potts Model. World Scientific, Singapore (2023). DOI: 10.1142/12694
[22] Rozikov, U. A., Rakhmatullaev, M. M., Khakimov, R. M.: Periodic Gibbs measures for the Potts model in translation-invariant and periodic external fields on the Cayley tree. Theoretical and Mathematical Physics (2022). DOI: 10.1134/S004057792201010X
[23] Sinai, Ya. G.: Theory of phase transitions: Rigorous Results. Pergamon, Oxford (1982).
