Структуросохраняющая схема для двухфазной конвективно--реакционно--диффузионной системы
Структуросохраняющая схема для двухфазной конвективно--реакционно--диффузионной системы
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v1i2.8Ключевые слова:
задача со свободной границей, адвекция, реакция, диффузия, структуросохраняющий метод, устойчивость, численное моделирование.Аннотация
В данной работе предложена новая явная численная схема, сохраняющая структуру,
для двухфазной конвективно--реакционно--диффузионной системы с динамически
эволюционирующей межфазной границей. Для решения и свободной границы получены
априорные оценки в нормах Гёльдера, что позволяет доказать существование и
единственность классического решения, а также исследовать его качественные
свойства. Проведён сравнительный анализ трёх численных подходов: неявной
противоточной схемы, схемы Кранка--Николсона и предложенной явной схемы.
Численные эксперименты подтверждают робастность и устойчивость нового метода,
в том числе в режимах с преобладающей адвекцией и сильно нелинейными
реакционными членами. Предложенная схема обеспечивает физически корректные
результаты и может быть эффективно использована для моделирования процессов,
управляемых движущимися интерфейсами, возникающих, в частности, при
остеоинтеграции вокруг зубных имплантатов, биологической инвазии и фазовых
переходах с резкой границей.
Библиографические ссылки
[1] Du, Y. and Lin, Z.G.: Spreading-vanishing dichotomy in the diffusive logistic model with a free boundary. SIAM J. Math. Anal., 42, 377–405 (2010).
[2] Elmurodov, A. N. and Sotvoldiyev, A. I. : A diffusive Leslie–Gower type Predator-Prey Model with two different free boundaries. Lobachevski J.Math. 44, 4254–4270 (2023).
[3] Friedman, A. : Free boundary problems in biology. Philos. Trans. A. Math. Phys. Eng. Sci. Sep 13; 373(2050):20140368. (2015). https://doi:10.1098/rsta.2014.0368.
[4] Rasulov, M. S. and Elmurodov, A. N.: A free boundary problem for a Predator-Prey System. Lobachevskii J.Math. 44, 2898–2909 (2023).
[5] Takhirov, J. O.: A free boundary problem for a reaction-diffusion equation appearing in biology. Indian J. Pure Appl. Math., 50(1): 95-112, March (2019).
[6] Elmurodov, A. N. : Two-phase problem with a free boundary for systems of parabolic equations with a nonlinear term of convection. Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematicheskie Nauki, 36(3), 110–122 (2021).
[7] Takhirov, J. O. and Elmurodov, A. N. : About mathematical model with a free boundary of water basins pollutions. Uzbek Math. J. 64 (4), 149–160 (2020). https://DOI:10.29229/uzmj.2020-4-16
[8] Tyson, J. J., Chen, C. K. and Novak, B.: Sniffers, buzzers, toggles and blinkers: dynamics of regulatory and signaling pathways in the cell. Curr. Opin. Cell Biol.15 (2), 221-231 (2003). https://doi.org/10.1016/S0955-0674(03)00017-6
[9] Byrne, H. M., Preziosi, L. : Modelling solid tumour growth using the theory of mixtures. Math. Med. Biol.20(4):341-66 (2003). https://DOI: 10.1093/imammb/20.4.341
[10] Wu, Z. and Zhao, J.: Two-phase free boundary problems for reaction-diffusion systems. J. Differ. Equ., 272, 1–35 (2021).
[11] Shahid, N., Ahmedet, N. and Baleanu, D.: Novel numerical analysis for nonlinear advection–reaction–diffusion systems. Comp. Math. Appl. 18(1):112-125 (2020). https://DOI:10.1515/phys-2020-0011
[12] Friedman, A., Reitich, F. : Analysis of a mathematical model for the growth of tumors. J. Math. Biol. 38(3):262–84. (1999). https://doi:10.1007/s002850050149
[13] Caffarelli, L. A., Friedman, A. : Continuity of the temperature in the Stefan problem. Indiana University Mathematics Journal, 28(1), 53–70 (1979).
[14] Mickens, R. E. : Advances in the Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes, 2005 World Scientific, Singapore, (2005). https://DOI:10.1142/5884
[15] Anguelov, R., Lubuma, J. M.-S. : Contributions to the mathematics of the nonstandard finite difference method. Numer. Methods Partial Differential Equations, 17 (5), pp. 518-543 (2001). https://DOI:10.1002/num.1025
[16] Chen-Charpentier, B. M., Kojouharov, H. V. : Unconditionally positive finite difference scheme for advection–reaction–diffusion equations. J. Comput. Appl. Math.(2016).
[17] Friedman, A. Variational Principles and Free-Boundary Problems, Wiley-Interscience, New York (1982).
[18] Cannon, J. R. : The One-Dimensional Heat Equation. Addison-Wesley. (1984).
[19] Elmurodov, A.N.: The two-phase Stefan problem for parabolic equations. Uzbek Mathematical Journal, 4, pp.54-64 (2019). https://DOI:10.29229/uzmj.2019-4-6
[20] Elmurodov, A.N. and Rasulov, M.S.: On a Uniqueness of Solution for a Reaction-Diffusion Type System with a Free Boundary. Lobachevskii Journal of Mathematics, 43, 2099–2106 (2022).
[21] Kruzhkov, S.N.: Nonlinear parabolic equations in two independent variables. Trans. Moscow Math. Soc., 16, 355–373 (1967).
[22] Ladyzenskaja, O.A., Solonnikov, V.A. and Ural’ceva, N.N.: Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type, Nauka, Moscow (1968).
[23] Chen, G., Charpentier, M., Kojouharov, H. V.: A positivity-preserving finite difference scheme for a class of nonlinear parabolic equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 346, 137–148 (2019).
