Кратные бифуркации Тьюринга и Андронова-Хопфа в системе "реакция-диффузия"
Кратные бифуркации Тьюринга и Андронова-Хопфа в системе "реакция-диффузия"
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v1i1.11Ключевые слова:
реакция-диффузия, положение равновесия, устойчивость, бифуркация, Тьюринг, Андронов-ХопфАннотация
В статье обсуждаются вопросы исследования локальных бифуркаций в окрестностях пространственно однородных положений равновесия системы ``реакция-диффузия'' в ограниченной области с однородными краевыми условиями Неймана. Основные результаты касаются изучения задач о бифуркации Тьюринга и бифуркации Андронова-Хопфа в ситуации кратного вырождения линеаризованной системы. В рассматриваемой ситуации коразмерность бифуркации не совпадает с кратностью собственных значений соответствующих линейных операторов, что приводит к существенному усложнению задачи. В статье проведен анализ случаев, приводящих к возникновению кратных бифуркаций, определены условия кратного вырождения, предложены подходы исследования задач об устойчивости и бифуркациях в окрестностях положений равновесия в указанных условиях. Основным результатом является исследование и описание структуры многообразия возникающих при бифуркации решений системы ``реакция-диффузия''. Обсуждаются также возможные направления развития предложенных результатов в задачах исследования кратных бифуркаций.
Библиографические ссылки
[1] Свирежев Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии.—М.: Наука, 1987.—368 с.
[2] Мюррей, Дж Математическая биология.Том 1. Введение—Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика Институт космических исследований, 2009.—776 с. в А. С
[3] Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы и модели биологии.—М.: Изд-во Физматлит, 2010.—436 с.
[4] Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса .—М.: URSS, 2011.—320 с.
[5] Ванаг В. К. Диссипативные структуры в реакционно-диффузионных системах. —- М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2008.—300 с.
[6] Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла.—М.: Мир, 1985.—280 с.
[7] Юмагулов М. Г., Васенина Н. А., Габдрахманов Р И Операторные методы исследования задач об устойчивости и бифуркацмях в системе “реакция-диффузия” и их приложения // Диффренциальные уравнения.—2025.—Т. 61, № 4.—С. 545–562.
[8] Abushahmina G.R., Gusarova N.I., Yumagulov M.G. Lyapunov quantities for Andronov-Hopf bifurcation problem in reaction-diffusion systems, Lobachevskii Journal of Mathematics.—2021.—Vol. 42, № 15.—p. 3567–3573.
[9] Юмагулов М. Г., Сидельникова Н. А. Системы типа “реакция-диффузия”: признаки устойчивости и бифуркаций// Вестник Башкирского университета.—2023.—Т. 28, № 4.—С. 303–309. DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2023.4.1
[10] Борина М. Ю., Полежаев А. А. Диффузионная неустойчивость в трехкомпонентной модели типа «реакция–диффузия» // Компьютерные исследования и моделирование.—2011.—Т. 3, № 2.—С. 135–146.
[11] Кузнецов М. Б. Исследование формирования структур Тьюринга под влиянием волновой неустойчивости// Компьютерные исследования и моделирование.—2019.—Т. 11, № 3.—С. 397–412.
[12] Юмагулов М. Г., Васенина Н. А. Спектральные свойства операторов системы “реакция-диффузия” и признаки бифуркаций// Вестник Пермского университета. Математика, механика, информатика.—2024.—Т. 65, № 2.—С. 17–25. DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2023.4.1
[13] Шильников Л. П., Шильников Л. П., Тураев Д. В, Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. —М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2009.. — 548 с.
[14] Юмагулов М. Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах // Доклады Академии наук. — 2008. — Т. 423, № 5. — С. 1–4.
[15] Вышинский А. А., Ибрагимова Л. С., Муртазина С. А., Юмагулов М. Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах // Уфимский математический журнал.—2010.—Т. 2, № 4.—С. 3–26.
