Вопросы устойчивости и сходимости нелокальной явной конечно-разностной схемы для численного анализа дробного осциллятора Зимана
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v2i2.3/Ключевые слова:
дробный осциллятор; конечно-разностная схема; устойчивость; сходимость; численное моделирование; дробное исчислениеАннотация
В настоящей работе исследуются вопросы устойчивости и сходимости нелокальной явной конечно-разностной схемы, предназначенной для численного решения задачи Коши для дробного осциллятора Зимана. Данная модель является обобщением классической модели Зимана, описывающей сокращения мышечного волокна сердца, и использует аппарат дробного исчисления для учета эффектов наследственности и памяти. Дробные производные понимаются в смысле Герасимова--Капуто, а для их аппроксимации применяется явная схема типа L1. В ходе теоретического анализа получены условия устойчивости предложенной схемы, доказана её сходимость с первым порядком точности по времени и установлено явное ограничение на шаг временной сетки, гарантирующее устойчивость вычислений. Для подтверждения теоретических выводов разработана компьютерная программа FracDynZe на языке Python, позволяющая проводить визуализацию осциллограмм и фазовых траекторий системы. Численные эксперименты, основанные на правиле Рунге, подтверждают первый порядок точности алгоритма. Результаты моделирования демонстрируют, что дробный осциллятор Зимана способен воспроизводить различные динамические режимы, включая автоколебания с выходом на устойчивый предельный цикл, что может быть полезно для анализа патологий сердечного ритма, таких как аритмия и тахикардия.
Библиографические ссылки
[1] Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. Academic Press, London, 1974.
[2] Нахушев А.М. Дробное исчисление и его приложения. Физматлит, Москва, 2003.
[3] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, Amsterdam, 2006.
[4] Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твёрдых тел. Наука, Москва, 1977.
[5] Akbar T., Arifeen S. U., Ali I., Idris S. A., Islam S. Computational study of variable order time-fractional differential equations arising in modeling of transport processes and viscoelastic oscillator. Ain Shams Engineering Journal, 2025. Vol. 16, No. 9. 103532. DOI: 10.1016/j.asej.2025.103532.
[6] Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion. Physics Reports, 2000, Vol. 339, No. 1. P. 1–77. DOI: 10.1016/S0370-1573(00)00070-3.
[7] Lopes A.M., Machado J.A.T. A review of fractional order entropies Entropy, 2017, vol. 22. no. 12. 1374. DOI: 10.3390/e22121374.
[8] Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity. World Scientific Publishing Company, 2022.
[9] Angstmann C.N., Henry B.I., McGann A.V. A fractional-order infectivity SIR model. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2016.Vol. 452. P. 86-93. DOI: 10.1016/j.physa.2016.02.029.
[10] Fichera G. Analytical Problems of Heredity Phenomena. Springer, Berlin, 2011. P. 109-169.
[11] Parovik R.I. On a Finite-Difference Scheme for a Hereditary Oscillatory Equation. Journal of Mathematical Sciences, 2021. Vol. 253, No. 4. P.547-557. DOI: 10.1007/s10958-021-05252-2.
[12] Parovik R.I. Studies of the fractional Selkov dynamical system for describing the self-oscillatory regime of microseisms. Mathematics, 2022. Vol. 10, No. 22. 4208. DOI: 10.3390/math10224208.
[13] Parovik R.I. Study of bifurcation diagrams of Selkov’s fractional dynamic system. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2024. Vol. 49, No. 4. P. 24-35. DOI: 10.26117/2079-6641-2024-49-4-24-35.
[14] Parovik R.I. Study of dynamic modes of fractional Selkov oscillator with variable coefficients using bifurcation diagrams. Computational Mathematics and Modeling, 2025. Vol. 36, No. 2. P. 319-336. DOI: 10.1007/s10598-025-09649-5.
[15] Seoane J. M., Coccolo M. Phase control of escapes in the fractional Helmholtz oscillator. IFAC-PapersOnLine, 2025. Vol. 59, No. 19. P. 204-209. DOI: 10.1016/j.ifacol.2025.11.035.
[16] Zheng Z. Y., Wang Y. M. H1-norm Analysis of an Integral-Averaged L1 Method on Nonuniform Time Meshes for a Time-Fractional Diffusion Problem. Journal of Scientific Computing, 2025. Vol. 103, No. 3. 83. DOI: 10.1007/s10915-025-02906-0,
[17] Jiang Y., Chen H., Huang C. Stability and Local Convergence of an ADI Scheme for a Multi-Term Time-Fractional Reaction-Subdiffusion Equation. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2025. Vol. 41, No. 5. e70028
[18] Chen S., Ding H. High-order numerical method for Caputo–Hadamard fractional reaction-diffusion equations using nonuniform temporal mesh. Mathematics and Computers in Simulation, 2025. DOI:10.1016/j.matcom.2025.09.022.
[19] Gao R., Li D., Li Y., Yin Y. An energy-stable variable-step L1 scheme for time-fractional Navier–Stokes equations. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2024. Vol. 467, 134264. DOI: 10.1016/j.physd.2024.134264.
[20] Zhang Y., Liu F., et al. Generalized exponential time differencing for fractional oscillation models. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2024.
[21] Zhang X. A fast second-order block-centered finite difference method for the fractional Cattaneo equation. AIMS Mathematics, 2025, Vol.10, No. 6. P. 14196–14221. DOI: 10.3934/math.2025640.
[22] Tan T., Liu H., Bu W. L1-FEM discretizations for two-dimensional multiterm fractional delay diffusion equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2024. Vol. 139. 108285. DOI:10.1016/j.cnsns.2024.108285.
[23] Traver J.E., Nuevo-Gallardo C., Tejado I., Fern´andez-Portales J., Ortega-Mor´an J.F., Pagador J.B., Vinagre B.M. Cardiovascular Circulatory System and Left Carotid Model: A Fractional Approach to Disease Modeling. Fractal and Fractional, 2022. Vol. 6, No. 2. 64. DOI: 10.3390/fractalfract6020064.
[24] Alimov Kh.T., Parovik R.I. Simulation of artificial ECGs of a healthy person using the fractional McSherry model. AIP Conference Proceedings, 2024. Vol. 3244, No. 1. 020005. DOI: 10.1063/5.0241420.
[25] Zeeman E.C. Differential equations for the heartbeat and nerve impulse. Dynamical Systems, 1973.
[26] Israyiljanova G.S., Karimov Sh.T., Parovik R.I. Zeman’s mathematical fractional model for describing cardiac contractions. AIP Conference Proceedings, 2025. Vol. 3356, No. 1. 020010. DOI: 10.1063/5.0296360.
[27] Israyiljanova G.S., Karimov Sh.T., Parovik R.I. Mathematical Fractional Zeeman Model for Describing Cardiac Contractions. Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2024. Vol. 48, No. 3. P. 83-94. DOI: 10.26117/2079-6641-2024-48-3-83-94.
[28] Ugarte J.P., Tob´on C. Fractional-order modeling of myocardium structure effects on atrial fibrillation electrograms. Mathematical Biosciences, 2024. Vol. 378. 109331. DOI: 10.1016/j.mbs.2024.109331.
[29] Takha A., Talbi M.L., Ravier P. Fractional calculus integration for improved ECG modeling: A McSharry model expansion. Medical Engineering & Physics, 2024. Vol. 132, No. 1. 104237. DOI: 10.1016/j.medengphy.2024.104237.
[30] Nabil H., Tayeb H. Chaos and complexity in a cardiac pacemaker model with incommensurate fractional-order dynamics: Empirical validation and cardiovascular implications. Chinese Physics B, 2026. Vol. 35, No. 7. 078702. DOI: 10.1088/1674-1056/ae0b3c.
[31] Novozhenova O.G. Life And Science of Alexey Gerasimov, One of the Pioneers of Fractional Calculus in Soviet Union. Fractional Calculus and Applied Analysis, 2017. Vol. 20, No. 3. P. 790-809. DOI: 10.1515/fca-2017-0040.
[32] Caputo M., Fabrizio M. On the notion of fractional derivative and applications to the hysteresis phenomena. Meccanica, 2017. Vol. 52, No. 13. P. 3043-3052. DOI: 10.1007/s11012-017-0652-y.
[33] Паровик Р.И., Исрайилжанова Г.С. FracDynZe – компьютерная программа исследования динамики работы сердца в рамках дробного осциллятора Зимана. Проблемы вычислительной и прикладной математики, 2026. №. 2 (72). С. 5-15. DOI: 10.71310/pcam.2_72.2026.01.
[34] Wend J., McKee S. Weakly singular discrete Gronwall inequalities. ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1986. Vol. 66, No. 11. P. 535–544. DOI: 10.1002/zamm.19860661115.
[35] Shaw Z.A. Learn Python the Hard Way. Addison-Wesley, 2024.
[36] Van Horn B.M. II, Nguyen Q. Hands-On Application Development with PyCharm: Build Applications like a Pro with the Ultimate Python Development Tool. Packt Publishing Ltd., Birmingham, UK, 2023.
[37] Li´enard A. ´Etude des oscillations entretenues. Revue g´en´erale de l’´electricit´e, 1928.
[38] Wang X., Nageen M., Abbas M., Yousaf M. Z., Alharthi M. R., El-Zahar E. R. Bifurcations, chaotic behaviour, sensitivity analysis, and diverse soliton structures for fractional nonlinear Kraenkel-Manna-Merle system adopting two techniques. Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems, 2025. Vol. 31, No. 1. 2546531. DOI: 10.1080/13873954.2025.2546531.
