Дерево Кэли, модель Уидома — Роулинсона, мера Гиббса, трансляционно-инвариантная мера Гиббса, периодическая мера Гиббса, экстремальность, неэкстремальность, фазовый переход.
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v2i3s.10Ключевые слова:
Cayley tree, Widom–Rowlinson model, Gibbs-measure, translation-invariant Gibbs measure, periodic Gibbs measure, extremality, nonextremality, phase transitionАннотация
Мы рассматриваем модели Уидома — Роулинсона с жёстким и мягким сердечником и значениями спина ${-1, 0, 1}$ на дереве Кэли порядка $k \geq 2$, уделяя основное внимание гиббсовским мерам этих моделей. Модели зависят от трёх параметров: порядка $k$ дерева, параметра взаимодействия $\theta$, соответствующего случаям $J<0$ и $J>0$, и активности частиц $\lambda$. Модель Уидома — Роулинсона с жёстким сердечником соответствует случаю $\theta = 0$.
Для $k=2$ и $J>0$ доказано существование двух и четырёх нетрансляционно-инвариантных (не-ТИ) периодических гиббсовских мер в соответствующих областях значений параметров $\theta$ и $\lambda$. Поскольку получены явные выражения для четырёх решений системы функциональных уравнений, установлены условия экстремальности и неэкстремальности соответствующих периодических гиббсовских мер. В случае $k=3$ и $J>0$ при условии $\theta>2$ получены явные выражения для двух критических значений $\lambda_{\mathrm{cr},i}(\theta)$ ($i=1,2$). С использованием этих критических значений показано, что в соответствующих областях пространства параметров существуют в точности две либо в точности четыре нетрансляционно-инвариантные периодические гиббсовские меры.
Библиографические ссылки
[1] Bleher, P. M., Ganikhodjaev, N. N.: On pure phases of the Ising model on the Bethe lattice. Theor. Probab. Appl. 35, 216–227 (1990).
[2] Bleher, P. M., Ruiz, J., Zagrebnov, V. A.: On the purity of the limiting Gibbs state for the Ising model on the Bethe lattice. J. Statist. Phys. 79, 473–482 (1995).
[3] Higuchi, Y.: Remarks on the limiting Gibbs states on a (d + 1)-tree. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 13, 335–348 (1977).
[4] Chayes, J. T., Chayes, L., Kotecký, R.: The analysis of the Widom-Rowlinson model by stochastic geometric methods. Comm. Math. Phys. 172, 551–569 (1995).
[5] Formentin, M., Külske, C.: Symmetric Entropy Bound on the Non-Reconstruction Regime of Markov Chains on Galton-Watson Trees. Electron. Comm. Probab. 14, 587–596 (2009).
[6] Gallavotti, G., Lebowitz, J.: Phase Transitions in Binary Lattice Gases. J. Math. Phys. 12, 1129–1133 (1971).
[7] Georgii, H. O.: Gibbs Measures and Phase Transitions. Second edition, de Gruyter Studies in Mathematics, 9. Walter de Gruyter, Berlin (2011).
[8] Higuchi, Y., Takei, M.: Some results on the phase structure of the two-dimensional Widom-Rowlinson model. Osaka J. Math. 41, 237–255 (2004).
[9] Jahnel, B., Külske, C.: The Widom-Rowlinson model under spin flip: Immediate loss and sharp recovery of quasilocality. Ann. Appl. Probab. 27, 3845–3892 (2017).
[10] Ganikhodjaev, N. N., Rozikov, U. A.: Description of periodic extreme Gibbs measures of some lattice models on a Cayley tree. Theor. Math. Phys. 111 (1), 480–486 (1997).
[11] Külske, C., Rozikov, U. A.: Fuzzy transformations and extremality of Gibbs measures for the potts model on a Cayley tree. Random Struct. Alg. 50 (4), 636–678 (2017).
[12] Martin, J. B., Rozikov, U. A., Suhov, Y. M.: A three state hard-core model on a Cayley tree. Jour. Nonlinear Math. Phys. 12, 432-448 (2005). [13] Mazel, A., Suhov, Y., Stuhl, I., Zohren, S.: Dominance of most tolerant species in multi-type lattice Widom-Rowlinson models. J. Stat. Mech. 2014, (2014).
[14] Mazel, A., Stuhl, I., Suhov, Y.: Hard-core configurations on a triangular lattice and Eisenstein primes. Preprint arXiv:1803.04041.
[15] Rozikov, U. A., Suhov, Y. M.: Gibbs measures for SOS model on a Cayley tree. Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 9, 471–488 (2006).
[16] Rozikov, U. A., Shoyusupov, Sh. A.: Fertile three state HC models on Cayley tree. Theor. Math. Phys. 156, 1319-1330 (2008).
[17] Rozikov, U. A.: Gibbs measures on Cayley trees. World Sci. Publ. Singapore. (2013).
[18] Rozikov, U. A., Khakimov, R. M.: Gibbs measures for the fertile three-state hard core models on a Cayley tree. Queueing Systems. 81, 49-69 (2015).
[19] Ruelle, D.: Existence of a Phase Transition in a Continuous Classical System. Phys. Rev. Lett. 27, 1040–1041 (1971).
[20] Widom, B., Rowlinson, J. S.: New model for the study of liquid-vapor phase transition. J. Chem. Phys. 52, 1670–1684 (1970).
[21] Kissel, S., Külske, C., Rozikov, U.: Hard-core and soft-core Widom–Rowlinson models on Cayley trees. JSTAT/043204. (2019).
[22] Martinelli, F., Sinclair, A., Weitz, D.: Fast mixing for independent sets, coloring and other models on trees. Random Structures and Algorithms. 31, 134–172 (2007).
[23] Rozikov, U. A., Khakimov, R. M., Makhammadaliev, M. T.: Gibbs periodic measures for a two-state HC-model on a Cayley tree. Journal of Mathematical Science, 278, 647–660 (2024).
[24] Khatamov, N. M.: Extremality of Gibbs measures for the HC-Blume–Capel model on the Cayley tree. Math. Notes. 111 (5), 768–781 (2022).
[25] Haydarov, F.H.: Kolmogorov extension theorem for non-probability measures on Cayley trees. Reviews in Mathematical Physics. 36(6), 1–12 (2024).
