Solution of a boundary value problem with time-asymmetric conditions for anonhomogeneous fourth-order equation with constant coefficients
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v2i3s.1Keywords:
Fourth-order differential equation; Green’s functions; Lower-order terms; Multiple characteristics; Uniqueness and existence of a solution; Formulation of a boundary value problem.Abstract
This paper investigates the well-posedness of a boundary value problem in a rectangular domain for a fourth-order inhomogeneous equation with lower-order terms and constant coefficients. Based on the method of energy inequalities (energy integrals), the uniqueness of the solution to the problem under consideration is rigorously established. An explicit representation of the desired solution is derived by constructing the corresponding Green’s function. Furthermore, in examining the uniform convergence of the series, it is proved that the "small denominator"arising in the denominator is strictly non-zero, thereby guaranteeing the existence of a regular solution.
References
[1] Турбин М.В.: Исследование начально-краевой задачи для модели движения жидкости Гершел-Балкли. Вест. Воронеж. Гос. Ун-та. Сер.Физ. Мат., 2013, № 2, с.246-257.
[2] Уизем Дж.: Линейние и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
[3] Шабров С.А.: Об оценках функций влияния одной математической модели четвертого порядка. Вест. Воронеж. Гос. Ун-та. Сер. Физ.Мат., 2015, № 2, c.168-179.
[4] Benney D.J., Luke J.C.: Interactions of permanent waves of finite amplitude. J. Math. Phys., 1964, 43, pp.309-313.
[5] Tursunov D.A., Orozov M.O.: Asymptotic solution of the dirichlet problem for a ring, when the corresponding unperturbed equation hasa regular special circle. (2019) Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta, Matematika i Mekhanika, 2019 (63), pp. 37- 46. DOI:10.17223/19988621/63/4
[6] Джураев Т.Д., Сопуев А.: К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. Ташкент: Фан, 2000,144 с.
[7] АмановД., Мурзамбетова М.Б.: Краевая задача для уравнения четвертого порядка смладшим членом. Вестн. Удмуртск.ун-та. Матем.Мех. Компьют. науки, 2013, выпуск 1, c.3-10.
[8] Сабитов К. Б., Фадеева О. В.: Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консольной балки. Вестн. Сам. гос.техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021, 25, 1, c.51-66.
[9] Иргашев Б. Ю.: Краевая задача для одного вырождающегося уравнения высокого порядка c младшими членами. Бюллетень Институтаматематики 2019, №6, с.23-30.
[10] Urinov A.K., Azizov M.S.: Boundary Value Problems for a Fourth Order partial Equation with an Unknown Right-hand Part. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, Vol. 42, № 3, pp.632-640.
[11] Аманов Д., Бекиев А.Б., Отарова Ж.А.: Об одной краевой задаче для уравнения четвертого порядка. УзМЖ. 2015, № 4, с.11-18.x
[12]СабитовК.Б.: Обратные задачи для уравнения колебаний балкипо определению правой частии начальных условий. Дифференциальные уравнения, 2020, том 56, №6, с.761-774.
[13] Апаков Ю.П., Мамажонов С.М.: Краевая задача для неоднородного уравнения четвёртого порядка с постоянными коэффициентами. Челябинский физико-математический журнал. 2023, Т. 8, выпуск 2, с.157-172.
[14] Мамажонов С.М.: Третья краевая задача для неоднородного уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Бюллетень Института математики. 2022, Vol. 5, № 6, с.100-109.
[15] Апаков Ю.П., Мамажонов С.М., Нуритдинова З. Н.: О решение краевой задачи для неоднородного уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами с помощью функции Грина. Научный вестник Наманганского государственного университета. 2024, № 4,-с.72-77.
[16] Умаров Р.А.: Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками с младшими членами. Дисс. док. фил. по физ.-мат. наук.- Фергана: Ферганский государственный университет, 2025. 98 с.
[17] Apakov Yu. P., Ibrokhimov Kh. K.Bitsadze-Samarskii Type Problem For The Viscous-Transonic Equation. Journal of Mathematical Sciences. Published: 13 February 2026. https://doi.org/10.1007/s10958-026-08224-6.
[18] Apakov Yu.P., Hamitov A.A. On Constructing a Solution to a Boundary Value Problem for a Third-Order Inhomogeneous Equation Using the Green’s Function in Three-Dimensional Space. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2025, Vol. 46, No 11, pp. 5504-5513. DOI:10.1134/S1995080225611786
[19] Aпаков Ю.П., Меликузиева Д.М. Решение краевой задачи для неоднородного уравнения четвертого порядка с кратными характеристиками построением функции Грина. “ДАН РУз”, 3-9 ст. №3, 2026 г
[20] Мамажонов С.М.: Решение второй краевой задачи для неоднородного уравнения четвертого порядка с кратными характеристиками. Научный вестник Наманганского государственного университета. 2020, № 11,-с.8-15
