Multiple Turing and Andronov-Hopf Bifurcations in a Reaction-Diffusion System
Кратные бифуркации Тьюринга и Андронова-Хопфа в системе "реакция-диффузия"
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v1i1.11Keywords:
reaction-diffusion; equilibrium state; stability; bifurcation; Turing; Andronov-Hopf.Abstract
This paper investigates the problem of local bifurcations in the vicinity of spatially homogeneous equilibrium states of reaction-diffusion systems in a bounded domain with homogeneous Neumann boundary conditions. The main results focus on studying Turing bifurcation and Andronov-Hopf bifurcation under conditions of multiple degeneracy in the linearized system. In the considered case the codimension of the bifurcation does not match the multiplicity of eigenvalues of the corresponding linear operators, which significantly complicates the analysis. The paper provides a detailed examination of cases leading to multiple bifurcations, establishes conditions for multiple degeneracy, and develops approaches for studying stability and bifurcations near equilibrium states under these conditions. The key result consists of the investigation and characterization of the solution manifold structure arising from bifurcations in reaction-diffusion systems. Potential directions for extending these results of the study of multiple bifurcations are also discussed.
References
[1] Свирежев Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии.—М.: Наука, 1987.—368 с.
[2] Мюррей, Дж Математическая биология.Том 1. Введение—Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика Институт космических исследований, 2009.—776 с. в А. С
[3] Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы и модели биологии.—М.: Изд-во Физматлит, 2010.—436 с.
[4] Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса .—М.: URSS, 2011.—320 с.
[5] Ванаг В. К. Диссипативные структуры в реакционно-диффузионных системах. —- М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2008.—300 с.
[6] Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла.—М.: Мир, 1985.—280 с.
[7] Юмагулов М. Г., Васенина Н. А., Габдрахманов Р И Операторные методы исследования задач об устойчивости и бифуркацмях в системе “реакция-диффузия” и их приложения // Диффренциальные уравнения.—2025.—Т. 61, № 4.—С. 545–562.
[8] Abushahmina G.R., Gusarova N.I., Yumagulov M.G. Lyapunov quantities for Andronov-Hopf bifurcation problem in reaction-diffusion systems, Lobachevskii Journal of Mathematics.—2021.—Vol. 42, № 15.—p. 3567–3573.
[9] Юмагулов М. Г., Сидельникова Н. А. Системы типа “реакция-диффузия”: признаки устойчивости и бифуркаций// Вестник Башкирского университета.—2023.—Т. 28, № 4.—С. 303–309. DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2023.4.1
[10] Борина М. Ю., Полежаев А. А. Диффузионная неустойчивость в трехкомпонентной модели типа «реакция–диффузия» // Компьютерные исследования и моделирование.—2011.—Т. 3, № 2.—С. 135–146.
[11] Кузнецов М. Б. Исследование формирования структур Тьюринга под влиянием волновой неустойчивости// Компьютерные исследования и моделирование.—2019.—Т. 11, № 3.—С. 397–412.
[12] Юмагулов М. Г., Васенина Н. А. Спектральные свойства операторов системы “реакция-диффузия” и признаки бифуркаций// Вестник Пермского университета. Математика, механика, информатика.—2024.—Т. 65, № 2.—С. 17–25. DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2023.4.1
[13] Шильников Л. П., Шильников Л. П., Тураев Д. В, Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. —М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2009.. — 548 с.
[14] Юмагулов М. Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах // Доклады Академии наук. — 2008. — Т. 423, № 5. — С. 1–4.
[15] Вышинский А. А., Ибрагимова Л. С., Муртазина С. А., Юмагулов М. Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах // Уфимский математический журнал.—2010.—Т. 2, № 4.—С. 3–26.
