On the smoothness of the generalized solution to a semi-nonlocal boundary value problem for the fourth-order Tricomi equation
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v2i2.7/Keywords:
Fourth-order Tricomi equation; semi-nonlocal boundary value problem; Faedo–Galerkin method; a priori estimates; ε-regularization method; unique solvability; weak generalized solution; Sobolev spaces.Abstract
Mixed-type equations and linear inverse problems play a fundamental role in the mathematical modeling of a wide range of complex physical phenomena, making their rigorous theoretical analysis an important area of mathematical research. In this paper, we investigate the existence, uniqueness, and regularity of a generalized solution to a semi-nonlocal boundary value problem for a fourth-order Tricomi equation in Sobolev spaces. Uniqueness is established using the energy integral method, while existence is proved through a combination of the modified Galerkin method, a priori estimates, and the ε-regularization method. Regularity of the solution is established under additional smoothness assumptions on the coefficients of the equation. The obtained results provide a theoretical foundation for investigating the solvability of multidimensional mixed-type equations and contribute to the further development of numerical methods for solving the corresponding inverse problems.
References
[1] А. В. Бицадзе. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа. Докл. АН СССР. T.122,№ 4.С.167–170.
[2] Ф. И. Франкль.Избранные труды по газовой динамике. 1973. Москва.
[3] Т. Ш. Кальменов. О полупериодической задаче для многомерного уравнения смешанного типа. Дифференциальные уравнения. 1978. Т.14, №3, С. 546-548.
[4] Б. Н. Цыбиков. О корректности периодической задачи для многомерного уравнения смешанного типа. В. кн: Неклассические уравнения математической физики. 1986. Новосибирск.
[5] C. З. Джамалов. Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами для многомерного уравнения смешанного типа первого рода. Вестник Самарского государственного технического университета, Сер.физ.-мат.науки, 2017. Т.21, №4, С. 1-14.
[6] C. З. Джамалов, Р. Р. Ашуров. О гладкости одной нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения Чаплыгина в пространстве. Казахский математ. журнал. 2018. Т.18, №2. С. 59-70.
[7] С. З. Джамалов. Нелокальные краевые и обратные задачи для уравнений смешанного типа (монография). 2021. Ташкент: Fan ziyosi.
[8] Т. Д. Джурaeв, A. К. Сoпуeв. К тeoрии диффeрeнциaльных урaвнeний в чaстных прoизвoдных чeтвeртoгo пoрядкa. 2000. Тaшкeнт: Фaн.
[9] М. С. Сaлaхитдинoв, Д. Aмaнoв. Рaзрeшимoсть и спeктрaльныe свoйствa сaмoсoпряжённых зaдaч для урaвнeния чeтвёртoгo пoрядкa. Узбeкский мaтeмaтичeский журнaл. 2005. №3, C. 72-77.
[10] Yu. P. Apakov, S. M. Mamajonov. Boundary value problem for fourth order inhomogeneous equation with variable coefficients. 2024. Journal of Mathematical Sciences, 284 (2), 153–165.
[11] Д. Aмaнoв, A. В. Юлдaшeвa. Крaeвaя зaдaчa для смeшaннo-пaрaбoличeскoгo урaвнeния высoкoгo пoрядкa. Дoкл. AН Рeс. Узб. 2008. №6. С. 10-13.
[12] А. А. Дезин. Общие вопросы теории граничных задач. 1980. Москва: Наука.
[13] А. Г. Меграбов. Некоторые обратные задачи для уравнения смешанного типа. ДАН СССР. 1977. Т.234, С. 305-307.
[14] К. Б. Сабитов, Н. В Мартемьянова. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа. Изв. вузов. Математика. 2011. №2, C. 71-85.
[15] В. Н. Врагов. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа. Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1978. С. 5-13.
[16] И. Е. Егоров, В. Е. Федоров. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. 1995. Новосибирск.
[17] А. В. Чуешев. Об одном линейном уравнении смешанного типа высокого порядка. Сиб. матем. журн. 2002, Т 43, № 2, 454–472.
[18] С. З. Джамалов, С. Г. Пятков. О некоторых классах краевых задач для многомерных уравнений смешанного типа высокого порядка. Сиб.мат. журнал. 2020. T.61, №4, C. 777-795.
[19] А. И. Кожанов. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. 1990. Новосибирск: НГУ.
[20] Yusupov Sh., Tojinorova M. On the weak generalized solution of the fourth-order Tricomi equation witha semi-nonlocal boundary condition, Acta NUUz, 2026, No 2/2, pp. 215-221.
[21] Dzhamalov S.Z., Khalkhadzhaev B.B., Tuychiyeva S.T. On the smoothness of a generalized solution of a semi-nonlocal boundary value problem for a fourth-order equation // Journal of Contemporary Applied Mathematics. – 2024. – Vol. 14, № 2. – P. 107–120. (3. Scopus, IF=0,115 ).
[22] О. А. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. 1973. Москва: Наука.
[23] Ю. М. Беразинский. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. 1965. Киев: Наук.думка.
[24] В. Н. Врагов. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. 1983. Новосибирск: НГУ.
[25] В. А. Треногин. Функциональный анализ. 2007. Москва: Физматлит.
