Асимптотический анализ сингулярно возмущенной краевой задачи с внутренней точкой поворота

Аннотация

В данной работе исследуется двухточечная краевая задача для сингулярно возмущённого линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с внутренней точкой поворота, имеющего вид: εy″(x) + (x − x₀)y′(x) − (x − x₀)y(x) = 0, 0 < x < 1, x₀ ∈ (0, 1), с краевыми условиями y(0) = a, y(1) = b.

Задачи такого типа возникают в различных областях науки и техники, включая физику, биологию, экономику и прикладную математику. Рассматриваемая задача обладает двумя характерными особенностями: она относится к классу сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений, а коэффициент приведённого уравнения обращается в нуль во внутренней точке интервала. Сочетание сингулярного возмущения и внутренней точки поворота делает задачу бисингулярной и приводит к более сложной структуре решения.

В отличие от классических сингулярно возмущённых краевых задач, пограничные слои не возникают в окрестностях концов интервала. Вместо этого слой формируется только в окрестности внутренней особой точки x = x₀. Следовательно, решение не может быть представлено одним асимптотическим выражением на всём интервале. Для преодоления этой трудности строятся отдельные асимптотические представления на подинтервалах [0, x₀] и [x₀, 1], на основе которых формируется составное решение. Каждое локальное представление состоит из суммы регулярного внешнего решения и внутреннего решения, описывающего поведение слоя в окрестности особой точки.

Основной целью работы является построение равномерно пригодного асимптотического разложения решения на всём интервале [0, 1]. Сравнение построенного асимптотического разложения с результатом А. Найфе показывает их близкое соответствие и подтверждает справедливость предложенной асимптотической конструкции.