Solving the Boundary value Problem for a Third-Order Equation with Multiple Characteristics in Three-Dimensional Space
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v2i3s.11Keywords:
Equations with multiple characteristics; boundary value problem; uniqueness; existence; eigenvalue; eigenfunction; functional series and uniform convergence.Abstract
In this work, a boundary value problem in three-dimensional space is considered for a third-order equation with multiple characteristics. The uniqueness of the solution to the problem is proved using the method of energy integrals, and the existence of the solution is proved using the method of separation of variables. The solution is explicitly constructed as an infinite series, and the possibility of differentiating the series with respect to all variables is justified. The uniform convergence is established by proving that the "small denominator"is non-zero.
References
[1] Юлдашев Т. К.: Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка. Вестн. Сам.гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, - Самара. 34 (1), 56-65 (2014).
[2] Tursunov D. A., Omaralieva G. A.: An Intermediate Boundary Layer in Singularly Perturbed First-Order Equations. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 28 (2), 193-200 (2022).
[3] Block H.: Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples. Ark. Mat. Astron. Fus. Note 1. 13 (7), 1-51 (1912).
[4] Del Vecchio E.: Sulleequazioni zxxx − zy + φ1 (x, y) = 0, zxxx − zyy + φ2 (x, y) = 0. Memorie R. Accad. Sci. Ser.2. - Torino. 66, 1-41 (1915).
[5] Cattabriga L.: Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabilia caratteristiche multiple. Rendiconti del seminario matimatico della univ. di Padava. 31, 1-45 (1961).
[6] Джураев Т. Д., Апаков Ю. П.: Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, - Самара. 15 (2), 18-26 (2007).
[7] Джураев Т. Д., Апаков Ю. П.: К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего вторую производную по времени. Украинский математический журнал. 62 (1), 40-51 (2010).
[8] Арнольд В. И.: Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. УМН. 18 (6), 91-192 (1967).
[9] Козлов В. В.: Условие вмороженности поля направлений, малые знаменатели и хаотизация стационарных течений вязкой жидкости. ПММ. 63 (2), 237-244 (1999).
[10] Сабитов К. Б.: Задача Дирихле для уравнений с частными производными. Матем. заметки. 97 (2), 262-276 (2015).
[11] Apakov Yu. P., Umarov R. A.: On the third boundary problem for a nonhomogeneous third order equation with multiple characteristics. Uzbek Mathematical Journal. 67 (1), 4-14 (2023).
[12] Умаров Р. А.: Об одной краевой задаче для неоднородного уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. Научный вестник НамГУ. 2, 16-27 (2024).
[13] Сабитов К. Б.: Начально-граничные задачи для уравнения колебаний прямоугольной пластины. Изв. вузов. Матем. 10, 60-70 (2021).
[14] Уткина Е. А.: Задача Дирихле для одного трехмерного уравнения. Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучн. сер. 76 (1), 84-95 (2010).
[15] Apakov Yu. P., Hamitov A. A.: Third Boundary Value Problem for an Equation with the Third Order Multiple Characteristics in Three Dimensional Space. Lobachevskii Journal of Mathematics. 44 (2), 523-532 (2023).
[16] Apakov Yu. P., Hamitov A. A.: Third boundary value problem for a third-order inhomogeneous equation with multiple characteristics in three-dimensional space. Uzbek Mathematical Journal. 69 (1), 27-36 (2025).
[17] Ректорис К.: Вариационные методы в математической физике и технике. Москва, Мир (1985).
