Метод обратной спектральной задачи для периодического дифференциально-разностного уравнения синус-Гордона
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v2i3s.12Ключевые слова:
Discrete sine–Gordon equation; inverse spectral problem; Lax pair; spectral data; trace formula; hyperelliptic curve; finite-gap integration; Dubrovin equations.Аннотация
Настоящая работа посвящена исследованию периодического дискретного уравнения синус-Гордона методом обратной спектральной задачи. Исследована соответствующая дискретная пара Лакса и построена спектральная теория связанной с ней периодической линейной разностной задачи. Получены явные представления фундаментальных решений в терминах полиномиальных структур, а спектральные данные охарактеризованы с помощью гиперэллиптической кривой.
На основе полученных результатов выведены формулы следов, позволяющие явно восстановить решение через спектральные параметры. Сформулирован алгоритм решения обратной спектральной задачи, основанный на эволюции спектральных данных. Наконец, получена система эволюционных уравнений для спектральных параметров, которую можно рассматривать как дискретный аналог уравнений Дубровина.
Библиографические ссылки
[1] Scott, A.C.: A nonlinear Klein–Gordon equation. Am. J. Phys. 37(1), 52–61 (1969). https://doi.org/10.1119/1.1975404
[2] Frenkel, J., Kontorova, T.: On the theory of plastic deformation and twinning. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Fiz. 1, 137–149 (1939).
[3] Borisov, A.B., Kiseliev, V.V.: Topological defects in incommensurate magnetic and crystal structures and quasi-periodic solutions of the elliptic sine–Gordon equation. Physica D 31(1), 49–64 (1988).
[4] Ustinov, A.V.: Solitons in Josephson junctions. Physica D 123(1), 315–329 (1998). https://doi.org/10.1016/S0167-2789(98)00131-6
[5] Ivancevic, V.G., Ivancevic, T.T.: Sine–Gordon solitons, kinks and breathers as physical models of nonlinear excitations in living cellular structures. J. Geom. Symmetry Phys. 31, 1–56 (2013). https://doi.org/10.7546/jgsp-31-2013-1-56
[6] Ablowitz, M.J., Kaup, D.J., Newell, A.C., Segur, H.: Method for solving the sine–Gordon equation. Phys. Rev. Lett. 30, 1262–1264 (1973). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.30.1262
[7] Levi, D., Ragnisco, O., Bruschi, M.: Extension of the Zakharov–Shabat generalized inverse method to solve differential–difference and difference–difference equations. Nuovo Cimento A 58, 56–66 (1980). https://doi.org/10.1007/BF02730220
[8] Pilloni, L., Levi, D.: The inverse scattering transform for solving the discrete sine–Gordon equation. Phys. Lett. A 92, 5–8 (1982).
[9] Babajanov, B.A., Babadjanova, A.K., Azamatov, A.Sh.:Integration of the differential–difference sine–Gordon equation with a self-consistent source. Teor. Mat. Fiz. 210(3), 375–386 (2022); https://doi.org/10.4213/tmf10152
[10] Babajanov, B., Fečkan, M., Babadjanova, A.: On the differential–difference sine–Gordon equation with an integral type source. Math. Slovaca 73(6), 1499–1510 (2023).
[11] Xie, F., Ji, M., Zhao, H.: Some solutions of the discrete sine–Gordon equation. Chaos, Solitons & Fractals 33, 1791–1795 (2007).
[12] Ding, D.-J., Jin, D.-Q., Dai, C.-Q.: Analytical solutions of differential–difference sine–Gordon equation. Thermal Science 21(4), 1701–1705 (2017).
[13] Akramov, M.E., Yusupov, J.R., Askerzade, I.N., Matrasulov, D.U.: Discrete sine–Gordon equation on metric graphs: A simple model for Josephson junction networks. Physica Scripta 98(11) (2023). https://doi.org/10.1088/1402-4896/acff4e
[14] Babajanov, B., Fečkan, M., Urazboev, G.: On the periodic Toda lattice hierarchy with an integral source. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 52, 110–123 (2017).
[15] Babajanov, B., Fečkan, M., Urazboev, G.: On the periodic Toda lattice with a self-consistent source. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 22(1–3), 1223–1234 (2015).
[16] Babadjanova, A., Kriecherbauer, T., Urazboev, G.: Periodic solutions of the discrete modified KdV equation with a self-consistent source. Appl. Math. Comput. 376, 125136 (2020).
[17] Babadjanova, A.K.: The periodic solutions of the discrete modified KdV equation. Uzbek Mathematical Journal 64(1), 21–30 (2020). https://doi.org/10.29229/uzmj.2020-1-3
