A Comparative Study of Two Weighted Function-Space Formulations for a Degenerate–Singular Elliptic Operator
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v2i2.5Ключевые слова:
degenerate elliptic operator; Bessel-type singular coefficient; weighted Sobolev space; Hardy-type inequality; coercivity threshold; Galerkin approximation; Lipschitz nonlinearity.Аннотация
Изучаемый в работе эллиптический оператор сочетает вырождающийся старший коэффициент по одной пространственной переменной с сингулярным младшим коэффициентом по другой и допускает более одного естественного вариационного подхода. Мы рассматриваем два таких подхода параллельно.
В первом подходе весовая функция, отвечающая за вырождение, вводится только для производной по вырождающемуся направлению, что приводит к анизотропно взвешенному пространству Соболева; в этом случае мы доказываем, что соответствующая нелинейная задача Дирихле допускает единственное слабое решение, если показатель вырождения и сингулярный коэффициент, а также константа роста липшицевой нелинейности, остаются ниже явно указанных пороговых значений; внутренняя регулярность второго порядка выполняется во всём допустимом диапазоне показателя вырождения, а условное глобальное взвешенное утверждение о регулярности получено в дополнительном режиме более сильного вырождения.
Во втором подходе вводится вспомогательный вес, выбираемый независимо от показателя вырождения и применяемый к обеим производным в дополнение к уже существующей анизотропии; перенос производной этого вспомогательного веса через слабую формулировку приводит к билинейной форме, сингулярный член которой определяется сдвинутым параметром α−β0, а не только β0, и даёт условие коэрцитивности, требующее, чтобы абсолютное значение α−β0 оставалось строго меньше половины величины 1−α, то есть допустимый интервал для β0 с центром в точке α, а не в нуле, полуширина которого линейно убывает от одной второй до нуля по мере изменения вспомогательного показателя α от нуля до единицы; это условие справедливо для любого показателя вырождения, показано с помощью явной почти экстремальной последовательности как точное с одной стороны, и приводит к корректности постановки задачи, оценкам устойчивости и внутренней регулярности вдали от вырождающейся границы.
Затем мы количественно сравниваем два полученных порога — показывая, в частности, что они совпадают в подходящем предельном режиме — и приводим конкретные вопросы, остающиеся открытыми в каждом из подходов.
Библиографические ссылки
[1] Chaplain, M.A.J., Preziosi, L.: Mathematical Oncology. Springer, Cham (2025).
[2] Keldysh, M.V.: On certain cases of degeneration of equations of elliptic type on the boundary of a domain. Dokl. Akad. Nauk SSSR 77(2), 181–183 (1951) (in Russian).
[3] Kipriyanov, I.A.: Singular Elliptic Boundary Value Problems. Nauka, Moscow (1997) (in Russian).
[4] Caffarelli, L., Silvestre, L.: An extension problem related to the fractional Laplacian. Comm. Partial Differential Equations 32(8), 1245–1260 (2007). https://doi.org/10.1080/03605300600987306
[5] Salakhitdinov, M.S., Mirsaburov, M.: Nelokal’nye zadachi dlia uravnenii smeshannogo tipa s singuliarnymi koeffitsientami. Tashkent University Press, Tashkent (2005).
[6] Mirsaburov, M.: A boundary value problem for a class of mixed-type equations with the Bitsadze–Samarskii condition on degeneration lines. Uzbek Math. J. 2, 48–57 (2012).
[7] Mirsaburov, M., Ruziev, M.Kh.: A problem with conditions on both characteristics and on a degeneration line for a class of hyperbolic–parabolic equations. Differ. Equ. 50, 1347–1359 (2014).
[8] Aharrouch, B., Bennouna, J.: Nonlinear degenerate elliptic equations in weighted Sobolev spaces. Electron. J. Differential Equations 2020, No. 105 (2020).
[9] El Ouaarabi, M., Allalou, C., Melliani, S., et al.: On a class of nonlinear degenerate elliptic equations in weighted Sobolev spaces. Georgian Math. J. 30(1), 81–94 (2023). https://doi.org/10.1515/gmj-2022-2191
[10] Alimohammady, M., Cattani, C., Koozehgar Kalleji, M.: Existence and regularity results for a degenerate elliptic nonlinear equation on weighted Sobolev spaces. Quaestiones Mathematicae 47(1), 157–171 (2024). https://doi.org/10.2989/16073606.2023.2205033
[11] Cavalheiro, A.C.: Weighted Sobolev Spaces and Degenerate Elliptic Equations. Cambridge Scholars Publishing, Newcastle upon Tyne (2023).
[12] Beisebay, P., Akzhigitov, Y., Akhazhanov, T., Kenzhebekova, G., Matin, D.: Smoothness of the solution of a boundary value problem for degenerate elliptic equations. Symmetry 17(9), 1562 (2025). https://doi.org/10.3390/sym17091562
[13] Di Fazio, G., Fanciullo, M.S., Zamboni, P.: Regularity up to the boundary for some degenerate elliptic operators. Applicable Analysis 101(10), 3563–3575 (2022). https://doi.org/10.1080/00036811.2020.1769079
[14] Do, T.D.: Harnack inequality for degenerate Hormander sub-elliptic operators with potentials. Expositiones Mathematicae 40(3), 605–627 (2022). https://doi.org/10.1016/j.exmath.2021.12.004
[15] Muckenhoupt, B.: Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function. Trans. Amer. Math. Soc. 165, 207–226 (1972).
[16] Fabes, E.B., Kenig, C.E., Serapioni, R.P.: The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations. Comm. Partial Differential Equations 7(1), 77–116 (1982). https://doi.org/10.1080/03605308208820218
[17] Balci, A.Kh., Diening, L., Giova, R., Passarelli di Napoli, A.: Elliptic equations with degenerate weights. SIAM J. Math. Anal. 54(2), 2373–2412 (2022). https://doi.org/10.1137/21M1412529
[18] Opic, B., Kufner, A.: Hardy-Type Inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics Series, vol. 219. Longman, Harlow (1990).
[19] Wang, B.-S., Hou, G.-L., Ge, B.: Existence and uniqueness of solutions for the p(x)-Laplacian equation with convection term. Mathematics 8(10), 1768 (2020). https://doi.org/10.3390/math8101768
[20] Tiarimti Alaoui, A., Jourhmane, M.: Existence and uniqueness of weak solutions for novel anisotropic nonlinear diffusion equations related to image analysis. J. Math. 2021, Art. 5553126 (2021). https://doi.org/10.1155/2021/5553126
[21] Ghaffari Laleh, N., Loeffler, C.M.L., Grajek, J., et al.: Classical mathematical models for prediction of response to chemotherapy and immunotherapy. PLoS Comput. Biol. 18(2), e1009822 (2022). https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1009822
[22] Gilbarg, D., Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer, Berlin–Heidelberg (2001).
[23] Grisvard, P.: Elliptic Problems in Nonsmooth Domains. Pitman, Boston (1985).
