Решение уравнения Монжа-Ампера с использованием геометрических преобразований
Решение уравнения Монжа-Ампера с использованием геометрических преобразований
DOI:
https://doi.org/10.56143/ujmcs.v1i2.5/Ключевые слова:
Галилеево движение;уравнение Монжа-Ампера; группа Гейзенберга; полная кривизна; полярная система координат.Аннотация
Геометрическая задача восстановления выпуклой поверхности по заданной функции эквивалентна решению определенного уравнения Монжа-Ампера. В этом случае внешняя кривизна определяется как функция борелевских множеств. И. Я. Бакельман построил эту теорию и доказал существование и единственность решения уравнения Монжа-Ампера эллиптического типа в односвязной выпуклой области. А. Артыкбаев обобщил это решение на случай неодносвязной области, применяя геометрию галилеева пространства. Данная работа посвящена аналитическому решению уравнения Монжа-Ампера в неодносвязной области. Внешняя кривизна поверхности определяется в неодносвязной области, ограниченной концентрическими окружностями.Применяя преобразование, представляющее собой движение галилеева пространства, и переход в полярную систему координат, уравнение модифицируется, в котором можно разделить переменные решения, уравнение ищется для суммы трех функций. В результате получен аналитический вид решения в неодносвязной области, ограниченной концентрическими окружностями.
Библиографические ссылки
[1] Alexandrov, A.D.: Convex polyhedra. Springer Monographs in Mathematics. (2005).
[2] Alexandrov, A.D.: Intrinsic geometry of convex surfaces. Classics of Soviet Mathematics. (2006).
[3] Aminov Yu., Arslan K., Bayram B., Bulca B., Murathan C., O’zturk G. : On the solution of the Monge-Ampere equation zxxzyy − z2
xy = f (x, y) with quadratic right side. J. Math.Phys.Anal.Geom. 7 (3), 203-211 (2011).
[4] Ampere A.M. : Memoire contenant l’application de la theorie. Journal de Polytechnique (1820).
[5] Artykbaev A., Ismoilov Sh.Sh., Kholmurodova G.N. : Recovering a surface in isotropic space using dual mapping according to curvature invariants. KazNu.Bull. Math. Mech. Comp.Sci. 126 (2), 104-118 (2025).
[6] Artykbaev A., Kholmurodova G.N. : The problem of recovering convex surfaces in a semi-hyperbolic space. Springer Proc. Math.Stat. 510, 281-286 (2025).
[7] Artykbaev A., Kholmurodova G.N. : Applying of the surface theory of non-Euclidian spaces to the solution of the Monge-Ampere equation of elliptic type . Uzbek Math. J. 69 (2), 23-28 (2025).
[8] Artykbaev, А., Sultanov, B.M., Ismoilov, Sh. Sh.: Geometry of semi-Euclidean spaces: Isotropic and Galilean (in Russian). Tashkent, Transport. (2024).
[9] Aydin M.E., Kulahci M.A, Ogrenmis A.O.: Constant curvature Translation surfaces in Galilean 3-space.. Int. Elect. J. Geom. 12 (1), 9-19 (2019).
[10] Bakelman,I.Y.: Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations Springer Verlag, Berlin, Heidelberg. (1994).
[11] Budd, C.J., Cullen, M.J., Walsh, E.J.: Monge-Ampere based moving mesh methods for numerical weather prediction, with applications to the Eady problem. J.Comput.Phys. 236 (1), 247-270 (2013).
[12] Cakmak A., Karacan M.K., Kiziltug S., : Dual surfaces defined by z = f (u) + g(v) in simply isotropic 3-space I1
3 . Commun. Korean math. soc. 34 (1), 267-277 (2019).
[13] Chen, B.Y. : Solutions to homogenious Monge-Ampere equations of homothetic functions and their applications to production models in economics. J. Math.Anal.Appl. 411 (1), 223-229 (2014).
[14] Dairbekov, N.S. : Otobrajeniya s ogranichennem na gruppax Geyzenberga. Sibirean Math. J. 41, 567-590 (2000).
[15] Dede, M., Ekici, C., Goemans, W. : Surfaces of revolution with vanishing curvature in Galilean 3-space. J.Math.Phys.Anal.Geom. 14 (2), 141-152 (2018).
[16] Hartenstine, D. : The Dirichlet problem for the Monge-Ampere equation in convex (but not strictly convex) domains. Elect. J. Diff.Equat. 138, 1-9 (2006).
[17] Ismoilov Sh.Sh. : Geometry of the Monge-Ampere equation in an isotropic space . Uzbek Math.J. 66 (2), 66-77 (2022).
[18] Ju H.J., Bao J.G., : On the exterior Dirichlet problem for Monge-Ampere equations. J.Math. Anal. Appl. 405, 475-483 (2013).
[19] Karacan M.K., Yoon D.W., Yuksel N. : Classification of some special types ruled surfaces in simply isotropic 3-space. Anal. Uni. de vest, Timisoara Seria Math –info. 55, 87-98 (2017).
[20] Khabirov S.V. : Nonisentropic one-dimensional gas motions constructed by means of the contact group of the nonhomogenious Monge-Ampere equation. Math.USSR.Sbornik 21 (2), 447-462 (1992).
[21] Kholmurodova G.N. : Solution of the Monge-Ampere equation in a ring domain . Uzbek Math. J. 69 (3), 114-120 (2025).
[22] Kushner, A.G. : A contact linearization problem for Monge-Ampere equations and laplace invariants . Acta. Appl.Math. 101, 177-189 (2008).
[23] Lone M.S, Karacan M.K., : Dual translation surfaces in the three dimensional simply isotropic space. Tamkang J.Math. 49 (1), 67-77 (2018).
[24] Monge G. : Sur le calcul integral des equations aux differences partielles. Memoires de l’Academie des Sciences (1784).
[25] Nam Q.L. : Analysis of Monge-Ampere equations. American. Math.Soc. (2024).
[26] Philippis G., Figalli, A. : The Monge-Ampere equation and its link to optimal transportation. Bull. American Math.Soc. 51 (4), 527-580 (2014).
[27] Pogorelov, A.V.: Extrinsic geometry of convex surfaces. Moscow, Science. (1991).
[28] Polyanin, A.D., Zhurov, A.I.: Methods for separation of variables and exact solutions of nonlinear equations of mathematical physics. Moscow, Ipmex. Ran. (2020).
[29] Polyanin, A.D.: Lectures on nonlinear equations of mathematical physics. Moscow, Ipmex. Ran. (2023).
[30] Sultanov, B.M., Kurudirek, A., Ismoilov, Sh.Sh. : Development and isometry of surfaces Galilean space. Math.Stat. 11 (6), 965-972 (2023).
[31] Tomter, P.: Constant mean curvature surface in the Heisenberg group Proc. of Symp. Pure Math. 54 (1), 485-495 (1993).
[32] Yaglom, I.M.: A simple non-Euclidean geometry and its physical basis. Springer, New York pp. 326 (1979).
